Аннотация
Математические
основы информатики:
Тема:
Системы счисления
1.
Что такое система
счисления?
2.
Наиболее
употребляемые в настоящее время системы счисления.
3.
Двоичная система
счисления.
4.
Перевод чисел из
двоичной системы счисления в десятичную.
5.
Шестнадцатеричная
система счисления.
6.
Заключение.
7.
Литература и
домашнее задание.
Цель работы: разработка методики создания условий для формирования теоретической и
практической способности учащихся к решению задач по математическим
основам информатики: свёрнутая и развёрнутая формы записи числа; двоичная,
восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления; арифметические операции в
позиционных системах счисления.
Задачи:
·
разработка интеллектуальной карты;
·
разработка задач для входной и выходной
рефлексией;
·
разработка технологических карт для проведения
уроков;
·
разработка диагностической работы с
использованием бально - рейтинговой оценки усвоения материала;
·
практика.
Задачи урока:
образовательные:
1. усвоение учащимися общего вида и правил выполнения перевода
правильной десятичной дроби в любую другую системы счисления: в 2-ю, 8-ю, 16-ю
системы счисления;
2. изучение особенностей записи о развёрнутой и свёрнутой
формах записи чисел;
3.практическое применение изученного материала;
развивающие:
1.развитие познавательного интереса, речи и внимания
учащихся;
2.развитие навыков индивидуальной и групповой практической
деятельности;
3.развитие коммуникационной компетентности у учащихся;
4.развитие способности логически рассуждать, делать
эвристические выводы;
5.формирование информационной культуры и потребности
приобретения знаний;
6.развитие умения применять полученные знания для решения
задач различного рода;
воспитательные:
1.воспитание творческого подхода к работе, желания
экспериментировать;
2.воспитание трудолюбия, чувства уважения к науке;
3.профессиональная ориентация и подготовка к математической
деятельности.
Тип урока: комбинированный.
Формы и методы обучения: словесный, интерактивный, наглядный, творческий
- беседа, работа в группах.
Кодификатор
Элементов содержания и
требований к уровню подготовки обучающихся, освоивших основные
общеобразовательные программы основного общего образования, для проведения
государственной (итоговой) аттестации (в новой форме) по Информатике и ИКТ
Пояснительная записка
Кодификатор составлен на базе Федерального компонента стандарта
основного общего
образования по информатике и ИКТ (утвержден приказом
Минобразования России
от 05.03.2004 № 1089).
Система счисления
Система
счисле́ния — символический метод
записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков.
Система счисления:
·
Даёт представления множества чисел (целых и/или вещественных);
·
Даёт каждому числу уникальное представление (или, по
крайней мере, стандартное представление);
·
Отражает алгебраическую и арифметическую структуру
чисел.
Системы
счисления подразделяются
на позиционные, непозиционные и смешанные.
В позиционных системах счисления один и тот же числовой знак (цифра) в записи числа имеет различные
значения в зависимости от того места (разряда), где он расположен.
Наиболее употребляемыми в настоящее время позиционными
системами являются:
·
2 — двоичная (в дискретной
математике, информатике, программировании);
·
3 — троичная;
·
13 — тринадцатеричная;
·
60 — шестидесятеричная (единицы измерения времени, измерение углов и,
в частности, координат, долготы и широты).
В позиционных системах
чем больше основание системы, тем меньшее количество разрядов (то есть
записываемых цифр)
требуется при записи числа.
Таблица сложения
+
|
0
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
10(перенос в старший разряд)
|
Таблица вычитания
-
|
0
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
(заём из старшего разряда) 1
|
0
|
Пример сложения «столбиком» (1410 +
510 = 1910 или 11102 + 1012 =
100112):
+
|
1
|
1
|
1
|
0
|
|
1
|
0
|
1
|
|||
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
|
Таблица умножения
×
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
Пример умножения «столбиком» (1410 *
510 = 7010 или 11102 * 1012 =
10001102):
×
|
1
|
1
|
1
|
0
|
|||
1
|
0
|
1
|
|||||
+
|
1
|
1
|
1
|
0
|
|||
1
|
1
|
1
|
0
|
||||
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
||
Двоичная система счисления — позиционная
система счисления с основанием 2. Благодаря непосредственной реализации в цифровых электронных
схемах на логических вентилях, двоичная система используется практически во всех
современных компьютерах и прочих
устройствах на их основе.
В двоичной системе счисления используются всего две цифры 0 и 1. Другими
словами, двойка является основанием двоичной системы счисления. (Аналогично у
десятичной системы основание 10.)
Чтобы научиться понимать числа в двоичной
системе счисления, сначала рассмотрим, как формируются числа в привычной для
нас десятичной системе счисления.
В десятичной системе счисления мы
располагаем десятью знаками-цифрами (от 0 до 9). Когда счет достигает 9, то
вводится новый разряд (десятки), а единицы обнуляются и счет начинается снова.
После 19 разряд десятков увеличивается на 1, а единицы снова обнуляются. И так
далее. Когда десятки доходят до 9, то потом появляется третий разряд – сотни.
Двоичная система счисления аналогична десятичной за исключением
того, что в формировании числа участвуют всего лишь две знака-цифры: 0 и 1. Как
только разряд достигает своего предела (т.е. единицы), появляется новый разряд,
а старый обнуляется.
Попробуем считать в двоичной системе:
0 – это ноль
1 – это один (и это предел разряда)
10 – это два
11 – это три (и это снова предел)
100 – это четыре
101 – пять
110 – шесть
111 – семь и т.д.
0 – это ноль
1 – это один (и это предел разряда)
10 – это два
11 – это три (и это снова предел)
100 – это четыре
101 – пять
110 – шесть
111 – семь и т.д.
Перевод
чисел из двоичной системы счисления в десятичную
Не трудно заметить, что в
двоичной системе счисления длины чисел с увеличением значения растут быстрыми
темпами. Как определить, что значит вот это: 10001001? Непривычный к такой
форме записи чисел человеческий мозг обычно не может понять сколько это.
Неплохо бы уметь переводить двоичные числа в десятичные.
В десятичной системе
счисления любое число можно представить в форме суммы единиц, десяток, сотен и
т.д. Например:
1476 = 1000 + 400 + 70 + 6
Можно пойти еще дальше и
разложить так:
1476 = 1 * 103 + 4 * 102 + 7 * 101 + 6 * 100
Посмотрите на эту запись
внимательно. Здесь цифры 1, 4, 7 и 6 - это набор цифр из которых состоит число
1476. Все эти цифры поочередно умножаются на десять возведенную в ту или иную
степень. Десять – это основание десятичной системы счисления. Степень, в
которую возводится десятка – это разряд цифры за минусом единицы.
Аналогично можно разложить и
любое двоичное число. Только основание здесь будет 2:
10001001 = 1*27 + 0*26 + 0*25 + 0*24 + 1*23 + 0*22 + 0*21 + 1*20
Если посчитать сумму
составляющих, то в итоге мы получим десятичное число, соответствующее 10001001:
1*27 + 0*26 + 0*25 + 0*24 + 1*23 + 0*22 + 0*21 + 1*20 = 128 + 0 + 0 + 0 +
8 + 0 + 0 + 1 = 137
Т.е. число 10001001 по
основанию 2 равно числу 137 по основанию 10. Записать это можно так:
100010012 = 13710
Почему
двоичная система счисления так распространена?
Дело в том, что двоичная система счисления – это язык
вычислительной техники. Каждая цифра должна быть как-то представлена на
физическом носителе. Если это десятичная система, то придется создать такое
устройство, которое может быть в десяти состояниях. Это сложно. Проще
изготовить физический элемент, который может быть лишь в двух состояниях
(например, есть ток или нет тока). Это одна из основных причин, почему двоичной
системе счисления уделяется столько внимания.
Перевод
десятичного числа в двоичное
Может потребоваться перевести
десятичное число в двоичное. Один из способов – это деление на два и
формирование двоичного числа из остатков. Например, нужно получить из числа 77
его двоичную запись:
77 / 2 = 38 (1 остаток)
38 / 2 = 19 (0 остаток)
19 / 2 = 9 (1 остаток)
9 / 2 = 4 (1 остаток)
4 / 2 = 2 (0 остаток)
2 / 2 = 1 (0 остаток)
1 / 2 = 0 (1 остаток)
38 / 2 = 19 (0 остаток)
19 / 2 = 9 (1 остаток)
9 / 2 = 4 (1 остаток)
4 / 2 = 2 (0 остаток)
2 / 2 = 1 (0 остаток)
1 / 2 = 0 (1 остаток)
Собираем остатки вместе,
начиная с конца: 1001101. Это и есть число 77 в двоичном представлении.
Проверим:
1001101 = 1*26 + 0*25 + 0*24 + 1*23 + 1*22 + 0*21 + 1*20 = 64 + 0 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 77
Шестнадцатеричная
система счисления (шестнадцатеричные
числа) — позиционная система
счисления по целочисленному основанию 16.
Обычно в
качестве шестнадцатеричных цифр используются десятичные цифры от 0 до 9 и латинские буквы
от A до F для обозначения цифр от 1010 до 1510, то есть (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
A, B, C, D, E, F).
Широко
используется в низкоуровневом программировании и компьютерной документации,
поскольку в современных компьютерах минимальной единицей памяти является
8-битный байт, значения которого удобно записывать двумя шестнадцатеричными
цифрами. Такое использование началось с системы IBM/360, где вся документация использовала
шестнадцатеричную систему, в то время как в документации других компьютерных
систем того времени (даже с 8-битными символами, как, например, PDP-11 или БЭСМ-6) использовали восьмеричную систему.
В стандарте Юникода номер символа
принято записывать в шестнадцатеричном виде, используя не менее 4 цифр (при
необходимости — с ведущими нулями).
Шестнадцатеричный цвет — запись трёх компонент цвета (R, G и B) в шестнадцатеричном
виде.
В математике основание системы счисления принято
указывать в десятичной системе в нижнем индексе. Например, десятичное число
1443 можно записать как 144310 или как 5A316.
В разных языках программирования для записи шестнадцатеричных чисел используют различный
синтаксис:
·
В Ада и VHDL такие числа указывают так: «16#5A3#».
·
В Си и языках схожего синтаксиса, например, в Java, используют префикс «0x». Например,
«0x5A3».
·
В некоторых ассемблерах используют букву «h», которую ставят
после числа. Например, «5A3h». При этом, если число начинается не с десятичной
цифры, то для отличия от имён идентификаторов (например, констант) впереди ставится «0» (ноль):
«0FFh» (25510)
·
Другие ассемблеры (AT&T, Motorola), а также Паскаль и некоторые версии Бейсика используют префикс «$». Например,
«$5A3».
·
Некоторые иные платформы, например ZX Spectrum в своих ассемблерах
(MASM, TASM, ALASM, GENS и т. д.) использовали запись #5A3, обычно
выровненную до одного или двух байт: #05A3.
·
Другие версии Бейсика, например Turbo Basic, используют для указания
шестнадцатеричных цифр сочетание «&h» или «&H» перед числом. Например,
«&h5A3».
·
В Unix-подобных операционных системах (и многих языках
программирования, имеющих корни в Unix/linux) непечатные символы при
выводе/вводе кодируются как 0xCC, где CC — шестнадцатеричный код символа.
·
Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичное необходимо это число
представить в виде суммы произведений степеней основания шестнадцатеричной
системы счисления на соответствующие цифры в разрядах шестнадцатеричного числа.
·
Например, требуется перевести шестнадцатеричное число 5A3 в
десятичное. В этом числе 3 цифры. В соответствии с вышеуказанным правилом
представим его в виде суммы степеней с основанием 16:
·
5A316 = 3·160+10·161+5·162=
= 3·1+10·16+5·256 = 3+160+1280 = 144310
= 3·1+10·16+5·256 = 3+160+1280 = 144310
·
Для перевода
многозначного двоичного числа в шестнадцатеричную систему нужно разбить его на тетрады справа налево и
заменить каждую тетраду соответствующей шестнадцатеричной цифрой. Для перевода
числа из шестнадцатеричной системы в двоичную нужно заменить каждую его цифру
на соответствующую тетраду из нижеприведенной таблицы перевода.
·
Например:
Например:
·
0101101000112 = 0101 1010 0011 = 5A316
Таблица
перевода чисел
0hex
|
=
|
0dec
|
=
|
0oct
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|||
1hex
|
=
|
1dec
|
=
|
1oct
|
0
|
0
|
0
|
1
|
|||
2hex
|
=
|
2dec
|
=
|
2oct
|
0
|
0
|
1
|
0
|
|||
3hex
|
=
|
3dec
|
=
|
3oct
|
0
|
0
|
1
|
1
|
|||
4hex
|
=
|
4dec
|
=
|
4oct
|
0
|
1
|
0
|
0
|
|||
5hex
|
=
|
5dec
|
=
|
5oct
|
0
|
1
|
0
|
1
|
|||
6hex
|
=
|
6dec
|
=
|
6oct
|
0
|
1
|
1
|
0
|
|||
7hex
|
=
|
7dec
|
=
|
7oct
|
0
|
1
|
1
|
1
|
|||
8hex
|
=
|
8dec
|
=
|
10oct
|
1
|
0
|
0
|
0
|
|||
9hex
|
=
|
9dec
|
=
|
11oct
|
1
|
0
|
0
|
1
|
|||
Ahex
|
=
|
10dec
|
=
|
12oct
|
1
|
0
|
1
|
0
|
|||
Bhex
|
=
|
11dec
|
=
|
13oct
|
1
|
0
|
1
|
1
|
|||
Chex
|
=
|
12dec
|
=
|
14oct
|
1
|
1
|
0
|
0
|
|||
Dhex
|
=
|
13dec
|
=
|
15oct
|
1
|
1
|
0
|
1
|
|||
Ehex
|
=
|
14dec
|
=
|
16oct
|
1
|
1
|
1
|
0
|
|||
Fhex
|
=
|
15dec
|
=
|
17oct
|
1
|
1
|
1
|
1
|
|||
Восьмери́чная
систе́ма счисле́ния — позиционная целочисленная система счисления с основанием 8. Для представления чисел в ней используются цифры от 0 до 7.
Восьмеричная
система чаще всего используется в
областях, связанных с цифровыми устройствами. Характеризуется лёгким переводом
восьмеричных чисел в двоичные и обратно, путём замены восьмеричных чисел на триплеты
двоичных. Ранее широко использовалась
в программировании и вообще компьютерной документации, однако в настоящее время
почти полностью вытеснена шестнадцатеричной.
Таблица перевода восьмеричных чисел в двоичные
08 = 0002
18 = 0012
28 = 0102
38 = 0112
48 = 1002
58 = 1012
68 = 1102
78 = 1112
Для перевода восьмеричного числа в двоичное необходимо
заменить каждую цифру восьмеричного числа на триплет двоичных цифр. Например:
25418 = [ 28 | 58 | 48 | 18 ] = [ 0102 | 1012 | 1002 | 0012 ] =
0101011000012
Десяти́чная систе́ма счисле́ния — позиционная
система счисления по целочисленному основанию 10. Одна из наиболее распространённых систем. В ней
используются цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, называемые арабскими цифрами. Предполагается, что основание 10 связано с количеством
пальцев рук у человека.
Таблица сложения в десятичной системе
счисления
+
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
0
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
1
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
2
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
3
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
4
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
5
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
6
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
7
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
8
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
18
|
9
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
18
|
19
|
10
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
18
|
19
|
20
|
В данной работе, мы:
1.
Рассмотрели понятие систем счисления, выделили их виды,
2.
Рассмотрели каждую систему счисления;
3.
Выделили применения систем счисления в жизни человека.
Урок по информатике. Тема:Системы счисления.
ОтветитьУдалить