Теория

Как перевести правильную десятичную дробь в любую другую позиционную систему счисления

Для перевода правильной десятичной дроби F в систему счисления с основанием q необходимо F умножить на q, записанное в той же десятичной системе, затем дробную часть полученного произведения снова умножить на q и т.д. до тех пор, пока дробная часть очередного произведения не станет равной нулю либо не будет достигнута требуемая точность изображения числа F в q-ичиной системе. Представлением дробной части числа F в новой системе счисления будет последовательность целых частей полученных произведений, записанных в порядке их получения и изображённых одной q-ичной цифрой. Если требуемая точность перевода числа F составляет k знаков после запятой, то предельная абсолютная погрешность при этом равняется q*(-k+1)/2.

Пример Переведём число 0,36 из десятичной системы в:

а) Двоичную

б) Восьмеричную

в) Шестнадцатеричную

а) Двоичная        б) Восьмеричная      в) Шестнадцатеричная

0,	36 *16
5	76 *16
(С16)12	16

0,	36 *8
2	88 *8
7	04 *8
0	32

0,	36 *2
0	72 *2
1	44 *2
0	88 *2
1	76 *2
1	52

                                  

                                                

  

 

Ответ: а) 0,36₁₀ = 0,01011₂ с предельной абсолютной погрешностью (2^-6) /2 = 2^-7.

б) 0,36₁₀ = 0,270₈ с предельной абсолютной погрешностью

 (8^-4) /2  = 2^-13.

в) 0,36₁₀ = 0,5С₁₆ с предельной абсолютной погрешностью

 (16^-3) /2 = 2^-13.

В позиционной системе счисления с основанием q любое число может быть представлено в виде:

Aq= + - (a_n-1*q^n-1+a_n-2*q^n-2+…+a₀*q⁰+a_-1*q^-1+…+a_-m*q^m).   (1)

Здесь:

A- число;

q- основание системы счисления;

a_i- цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления;

n- количество целых разрядов числа;

m- количество дробных разрядов числа;

qⁱ- «вес» i-го разряда.

Запись числа по формула (1) называется развёрнутой формулой записи. Свёрнутой формулой записи числа называется его представление в виде +- a_n-1a_n-2…a₁a₀,a_-1…a_-m. 

Пример 3. Рассмотрим десятичное число 14351,1. Его свёрнутая формула записи настолько привычна, что мы не замечаем, как в уме переходим к развёрнутой записи, умножая цифры числа на «веса» разрядов и складывая полученные произведения:

1*10⁴+4*10³+3*10²+5*10¹+1*10⁰+1*10^-1.